Question

19．已知橢圓的焦點是F₁（-1，0）和F₂（1，0），離心率$e=\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點P是橢圓上一點，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得c，再由離心率求得a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）在焦點三角形中利用余弦定理求得|PF₁||PF₂|，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
且c=1，又$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得a=2，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：$4{c}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|cos$∠F₁PF₂，
即$4=（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-$2|PF₁||PF₂|×cos60°，
∴4=16-3|PF₁||PF₂|，即|PF₁||PF₂|=4．
∴△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|sin60°=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓定義及余弦定理在求解焦點三角形中的應(yīng)用，是中檔題．