Question

5．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$是奇函數(shù)，其中a為實數(shù)．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）當m+n≠0時，比較$\frac{f（m）+f（n）}{{{m^3}+{n^3}}}$與f（0）的大小并證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數(shù)是奇函數(shù)，結(jié)合f（0）=0，解方程即可求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）結(jié)合方式函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系即可證明當m+n≠0時，比較$\frac{f（m）+f（n）}{{{m^3}+{n^3}}}$與f（0）的大小關(guān)系．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)$f（x）=a-\frac{1}{{{2^x}+1}}$在R上是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即$a-\frac{1}{{{2^0}+1}}=0$，
∴$a=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
∵2^x+1＞1，
∴0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，
∴-1＜-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜0，則$-\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{1}{2}$，
即$-\frac{1}{2}＜y＜\frac{1}{2}$，
所以函數(shù)f（x）的值域為$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$；
（Ⅲ）當m+n≠0時，$\frac{f（m）+f（n）}{{{m^3}+{n^3}}}＞f（0）$．
設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
$f（{x_2}）-f（{x_1}）=（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}）-（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}）=\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{（{2^{x_2}}+1）（{2^{x_1}}+1）}}$
∵x₁＜x₂，
∴${2^{x_2}}-{2^{x_1}}＞0，（{2^{x_2}}+1）（{2^{x_1}}+1）＞0$，
∴$\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{（{2^{x_2}}+1）（{2^{x_1}}+1）}}＞0$
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$在R上是單調(diào)遞增，
①若m+n＞0，即m＞-n，所以f（m）＞f（-n），m³＞（-n）³，
又因為$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$在R上是奇函數(shù)，
所以f（-n）=-f（n），f（m）+f（n）＞0，m³+n³＞0
所以$\frac{f（m）+f（n）}{{{m^3}+{n^3}}}＞0$，
又因為f（0）=0，所以$\frac{f（m）+f（n）}{{{m^3}+{n^3}}}＞f（0）$；
②若m+n＜0，即m＜-n，
所以f（m）＜f（-n），m³＜（-n）³，
又因為$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$在R上是奇函數(shù)，
所以f（-n）=-f（n），f（m）+f（n）＜0，m³+n³＜0
所以$\frac{f（m）+f（n）}{{{m^3}+{n^3}}}＞0$，
又因為f（0）=0，
所以$\frac{f（m）+f（n）}{{{m^3}+{n^3}}}＞f（0）$．
綜上所述：當m+n≠0時，$\frac{f（m）+f（n）}{{{m^3}+{n^3}}}＞f（0）$．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用，結(jié)合分式函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．考查學生的運算和推理能力．