Question

16．當(dāng)x=θ時，函數(shù)f（x）=sinx-3cosx取得最大值，則cosθ的值為-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式為函數(shù)f（x）═$\sqrt{10}$sin（x+α），其中，cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，sinα=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．由題意可得θ+α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即 θ=2kπ+$\frac{π}{2}$-α，k∈z，再利用誘導(dǎo)公式求得cosθ 的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sinx-3cosx=$\sqrt{10}$（$\frac{\sqrt{10}}{10}$sinx-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$cosx）=$\sqrt{10}$sin（x+α），其中，cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，sinα=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
故當(dāng)x+α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=2kπ+$\frac{π}{2}$-α，k∈Z時，函數(shù)f（x）取得最大值為$\sqrt{10}$．
而由已知可得當(dāng)x=θ時，函數(shù)f（x）取得最大值，∴2kπ+$\frac{π}{2}$-α=θ，求得cosθ=sinα=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
故答案為：-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評 本題主要考查輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的最大值，屬于中檔題．