Question

2．設a≠0，函數(shù)f（x）=ax³-3x²．
（1）若函數(shù)y=f（x）在[0，1]的最小值為-2，求a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=e^xf（x）在[0，2]上是單調減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調性，從而求出函數(shù)的最小值，進而求出a的值；
（Ⅱ）由在[0，2]上是單調減函數(shù)可轉化成在[0，2]上導函數(shù)恒小于零，再借助參數(shù)分離法分離出參數(shù)a，再利用導數(shù)法求出另一側的最值即可

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³-3x²，a≠0，
∴f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1），
∴當a＞0時，
由f′（x）＞0得：x＞$\frac{1}{a}$
由f′（x）＜0得：x＜$\frac{1}{a}$，
∴當a＞0時，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{a}$），遞增區(qū)間是（$\frac{1}{a}$，+∞）；
當$\frac{1}{a}$≥1，即：0＜a≤1時，f（x）在[0，1]遞減，f（x）_最小值=f（1）=a-3=-2，解得：a=1，符合題意；
當0＜$\frac{1}{a}$＜1，即a＞1時，f（x）在[0，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，1]遞增，
∴f（x）_最小值=f（$\frac{1}{a}$）=-2，解得：a=-1或a=1（舍），
當a＜0時，由f′（x）＞0得：x∈∅，由f′（x）＜0得：x∈R；
函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為R；
∴f（x）_最小值=f（1）=a-3=-2，解得：a=1，不合題意；
綜上：a=1．
（Ⅱ）由題設，g′（x）=e^x（ax³-3x²+3ax²-6x），又e^x＞0，
所以，?x∈（0，2]，ax³-3x²+3ax²-6x≤0，
這等價于，不等式a≤$\frac{{3x}^{2}+6x}{{x}^{3}+{3x}^{2}}$=$\frac{3x+6}{{x}^{2}+3x}$對x∈（0，2]恒成立．
令h（x）=$\frac{3x+6}{{x}^{2}+3x}$（x∈（0，2]），
則h′（x）=-$\frac{3{（x}^{2}+4x+6）}{{{（x}^{2}+3x）}^{2}}$=-$\frac{3{[（x+2）}^{2}+2]}{{{（x}^{2}+3x）}^{2}}$＜0，
所以h（x）在區(qū)間（0，2]上是減函數(shù)，
所以h（x）的最小值為h（2）=$\frac{6}{5}$．
所以a≤$\frac{6}{5}$．即實數(shù)a的取值范圍為：{a|a≤$\frac{6}{5}$且a≠0}．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用，函數(shù)恒成立問題，本題屬于中檔題．