考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得單調(diào)區(qū)間；
（2）令
h(x)=ln(x2+1)-，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)性及圖象的變化趨勢，由圖象可得a的范圍；
（3）假設(shè)存在正數(shù)b，使得方程f（x）=blnx存在兩個不相等的實根
x1 和
x2 ，則
| | ln(x1+)+=blnx1…(1) | | ln(x2+)+=blnx2…(2) |
| |
，由（1）問結(jié)論可判斷x
1＞1，x
2＞1，不妨設(shè)x
2＞x
1＞1，由（1）（2）可得
=，容易證明函數(shù)
y=ln(1+)+在（1，+∞）恒大于0且為減函數(shù)，由此可得矛盾，得到結(jié)論；
解答：
解：（1）f（x）定義域是（-
，0）∪（0，+∞），求導(dǎo)得f′（x）=
，
由f′（x）＞0得，-
＜x＜-1或x＞3；由f′（x）＜0得-1＜x＜0或0＜x＜3．
∴f（x）的增區(qū)間是
(-，-1)，(3，+∞)；減區(qū)間是（-1，0），（0，3）函數(shù)f（x）；
（2）令
h(x)=ln(x2+1)-，
求導(dǎo)得h′（x）=2x[
+]，
里面有一個零點x=0和兩個斷點x=±1，
∴得到函數(shù)在區(qū)間（0，1），（1，+∞）單調(diào)增；在區(qū)間（-∞，-1），（-1，0）單調(diào)減．
當x從負半軸方向趨近于-1時，h（x）→-∞，
當x從正半軸方向趨近于-1時，h（x）→+∞，
而且x→-∞時，h（x）→+∞
而且可以很容易得到h（x）=h（-x），∴函數(shù)為偶函數(shù)，且h（0）=1，
另半邊的圖象由關(guān)于y軸對稱就可以得到了，所以g（x）=ln（x
2+1）有4個不同的實根，
結(jié)合圖象得到a＞h（0）=1；
（3）結(jié)論：這樣的正數(shù)b不存在．
假設(shè)存在正數(shù)b，使得方程f（x）=blnx存在兩個不相等的實根
x1 和
x2 ，則
| | ln(x1+)+=blnx1…(1) | | ln(x2+)+=blnx2…(2) |
| |
，
根據(jù)定義域知道
x1 和
x2 都是正數(shù)，
根據(jù)第（1）問知道，當x＞0時，函數(shù)的最小值
fmin(x)=f(3)=(ln)+＞0 ，
∴
f(x1)=ln(x1+)+＞0 ，
f(x2)=ln(x2+)+＞0 ，
∵b＞0，等式兩邊同號，∴l(xiāng)nx
1＞0，lnx
2＞0，∴x
1＞1，x
2＞1，
不妨設(shè)x
2＞x
1＞1，
由（1）（2）可得
=，
∴
-1=-1，
∴
=…(*)，
容易證明函數(shù)
y=ln(1+)+在（1，+∞）恒大于0且為減函數(shù)，
∵
=左邊大于1，右邊小于1，
∴（*）方程顯然不成立，
∴原假設(shè)：存在正數(shù)b，使得方程f（x）=blnx存在兩個不相等的實根
x1 和
x2 錯誤，
∴不存在正數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=blnx有兩個不相等的實根．
點評：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、方程的根等內(nèi)容，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力．
如圖，直角△ABC所在平面外一點S，SA=SB=SC，點D為斜邊AC的中點．
如圖，AB為圓O的直徑，BC與圓O相切于點B，D為圓O上的一點，AD∥OC，連接CD．