Question

10．已知{a_n}是正數(shù)組成的等比數(shù)列，求證：lga₁+lga₃+lga₅+…+lga_2n-1=nlga_n（n∈N^*）

Answer 1

分析 將數(shù)列寫成a_n=a₁q^n-1，n∈N，a_2n-1=a₁q^2n-2，代入原式左邊，再運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等差數(shù)列求和公式，化簡(jiǎn)為右邊．

解答 證明：因?yàn)閧a_n}是正數(shù)組成的等比數(shù)列，設(shè)公比為q，
所以a_n=a₁q^n-1，n∈N，
因此，a_2n-1=a₁q^2n-2，
所以lga₁+lga₃+lga₅+…+lga_2n-1
=lg[a₁•a₃•a₅•…•a_2n-1]
=lg[a₁•a₁q²•a₁q⁴•a₁q⁶…a₁q^2n-2]
=lg[a₁ⁿ•q^{2+4+6+…+（2n-2）}]
=lg[a₁ⁿ•q^n（n-1）]
=lg[a₁q^n-1]ⁿ
=nlga_n．證畢．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列恒等式的證明，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．