Question

（12分）設各項均為正數的數列的前項和為，滿足

且構成等比數列．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）證明：對一切正整數，有．

 

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對于，令即可證明；（Ⅱ）由已知所給的遞推式含有，考慮用公式，得到和的遞推式，構造等差數列，進而求出數列的通項；（Ⅲ）因為是一個分式，常通過裂項相消法逐項相消，然后再通過放縮，得出結論.

試題解析：（Ⅰ）證明：由，得，即，

所以.因為，所以；

（Ⅱ）【解析】
（1）

當時， （2）

由（1）-（2）得，即

，，即，（下面需驗證時的情況）

成等比數列，所以，即，解得

又由（1）知，，，

綜上知（）；

數列是一個首項為1，公差為2的等差數列．，

數列的通項公式為；

（Ⅲ）證明：由（2）知，

.

考點：數列的遞推公式、通項公式、；等比中項、等差數列的概念；裂項相消法求數列的前項和；放縮法證明不等式等知識.