Question

19．水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點A（3$\sqrt{3}$，-3）出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時60秒．經(jīng)過t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），其縱坐標(biāo)滿足y=f（t）=Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}}$）．則下列敘述錯誤的是（　　）

• A． $R=6，ω=\frac{π}{30}，φ=-\frac{π}{6}$
• B． 當(dāng)t∈[35，55]時，點P到x軸的距離的最大值為6
• C． 當(dāng)t∈[10，25]時，函數(shù)y=f（t）單調(diào)遞減
• D． 當(dāng)t=20時，$|{PA}|=6\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的解析式，再分析選項，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，R=$\sqrt{27+9}$=6，T=60=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=$\frac{π}{30}$，
點A（3$\sqrt{3}$，-3）代入可得-3=6sinφ，∵|φ|＜$\frac{π}{2}}$），∴φ=-$\frac{π}{6}$．故A正確；
f（t）=6sin（$\frac{π}{30}$t-$\frac{π}{6}$），當(dāng)t∈[35，55]時，$\frac{π}{30}$t-$\frac{π}{6}$∈[π，$\frac{5}{3}π$]，∴點P到x軸的距離的最大值為6，正確；
當(dāng)t∈[10，25]時，$\frac{π}{30}$t-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{1}{6}$π，$\frac{2π}{3}$]，函數(shù)y=f（t）單調(diào)遞減，不正確；
當(dāng)t=20時，$\frac{π}{30}$t-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，P的縱坐標(biāo)為6，|PA|=$\sqrt{27+81}$=6$\sqrt{3}$，正確，
故選C．

點評 本題主要考查了在實際問題中建立三角函數(shù)模型的問題．考查了運用三角函數(shù)的最值，周期等問題確定函數(shù)的解析式．