Question

2．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁、F₂，P為雙曲線右支上一點，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，若$∠P{F_1}{F_2}∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}]$，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

• A． $[{2，\sqrt{3}+1}]$
• B． $[{2，2\sqrt{3}+1}]$
• C． $[{\sqrt{2}，2}]$
• D． $[{\sqrt{2}，\sqrt{3}+1}]$

Answer 1

分析 設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=y，設(shè)∠PF₁F₂=θ，分析可得y-x=2a，tanθ=$\frac{x}{y}$，根據(jù)條件判斷PF₁⊥PF₂，由雙曲線的離心率公式可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4{c}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{（y-x）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}-2xy}$=1+$\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}-2xy}$=1+$\frac{2}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2}$=1+$\frac{2}{tanθ+\frac{1}{tanθ}-2}$，令t=tanθ+$\frac{1}{tanθ}$，分析tanθ的范圍，由對號函數(shù)的性質(zhì)分析可得t的范圍，將t的范圍代入其中，計算可得e²的范圍，化簡即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=y，設(shè)∠PF₁F₂=θ，
則有y-x=2a，tanθ=$\frac{x}{y}$，
又由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，則有x²+y²=|F₁F₂|=4c²，
e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4{c}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{（y-x）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}-2xy}$=1+$\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}-2xy}$
=1+$\frac{2}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2}$=1+$\frac{2}{tanθ+\frac{1}{tanθ}-2}$，
令t=tanθ+$\frac{1}{tanθ}$，由于θ=$∠P{F_1}{F_2}∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}]$，
則tanθ∈（2-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），則t∈（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，4），
則有2≤e²≤2$\sqrt{3}$+4，
則有$\sqrt{2}$≤e≤$\sqrt{3}$+1，
即雙曲線離心率e的取值范圍是[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$+1]；
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)條件判斷PF₁⊥PF₂，結(jié)合正弦定理以及轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題．