已知a，b，c是正常數(shù)，且a，b，c互不相等，x，y，z∈（0，+∞），求證：
a2
x2
+
b2
y2
+
c2
z2
≥
(a+b+c)2
x+y+z
，并指出等號(hào)成立的條件．
考點(diǎn)：不等式的證明
專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：令
m
=（x，y，z），
n
=（
a
x
，
b
y
，
c
z
），由|
m
|2•|
n
|2≥|
n
•
m
|2，即可得證，再由向量共線的知識(shí)，即可得到取等號(hào)的條件．
解答： 證明：令
m
=（x，y，z），
n
=（
a
x
，
b
y
，
c
z
），
則
m
•
n
=x•
a
x
+y•
b
y
+z•
c
z
=a+b+c，
|
m
|2=x2+y2+z2，|
n
|2=
a2
x2
+
b2
y2
+
c2
z2
，
由|
m
|2•|
n
|2≥|
n
•
m
|2，
則有（x2+y2+z2）（
a2
x2
+
b2
y2
+
c2
z2
）≥（a+b+c）2，
即有
a2
x2
+
b2
y2
+
c2
z2
≥
(a+b+c)2
x2+y2+z2
．
當(dāng)且僅當(dāng)a：b：c=x2：y2：z2，不等式取等號(hào)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查運(yùn)用向量法證明不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知向量
AC
是
AB
與
AD
的和向量，
AC
=
a
，
DB
=
b
，且|
a
|=2，|
b
|=1，
a
與
b
的夾角為60°．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，若
AH
=λ
a
+μ
b
（λ，μ∈R），試求λ，μ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）=
-2x+b
2x+1+a
．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式-m2+（k+2）m-
3
2
＜f（x）＜m2+2km+k+
5
2
對(duì)一切實(shí)數(shù)x及m恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）定義：若存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得f（x+T）=f（x）對(duì)定義域中的任何實(shí)數(shù)x都恒成立，那么，我們把f（x）叫以T為周期的周期函數(shù)，它特別有性質(zhì)：對(duì)定義域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函數(shù)g（x）是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，切當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

logx[log2（lnx）]=0，則x
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)等差數(shù)列{an]的公差為d，點(diǎn)（an，bn）在函數(shù)f（x）=2x的圖象上（n∈N*）．
（1）若a1=2，點(diǎn)（a8，4b7）在函數(shù)f（x）的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；
（2）若數(shù)列{an}的公差不為0，且a1=1，a2，a4，a8成等比數(shù)列，求數(shù)列{
an
bn
}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若方程
x2
3+k
+
y2
k-1
=1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓
x2
6
+
y2
2
=1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為（　�。�
A、-2B、2C、-4D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）=
3
sin2x+2cos2x+m在區(qū)間[0，
π
2
]上的最大值為6，求常數(shù)m的值及此函數(shù)當(dāng)x∈R時(shí)的最小值，并求相應(yīng)的x的取值集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

解不等式：|a-2|＜|4-a2|．

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同步練習(xí)冊(cè)答案