Question

如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=3，E為BC上一點，BE=2EC，且DE=

3

．將梯形ABCD沿DE折成直二面角B-DE-C，如圖2所示．

（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面ABED；
（Ⅱ）設點A關于點D的對稱點為G，點M在△BCE所在平面內，且直線GM與平面ACE所成的角為60°，試求出點M到點B的最短距離．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）通過證明DE⊥CE，BE⊥CE．推出CE⊥平面ABED，利用CE?平面AEC，證明平面AEC⊥平面ABED．  
（Ⅱ）通過DE，BE，CE兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系E-xyz，求出E，A，B，C，D，G坐標，求出平面ACE的一個法向量為

n

=(x，y，z)，利用直線GM與平面ACE所成的角為60°，通過數(shù)量積得到y(tǒng)²=2x，求出MB|的表達式，利用二次函數(shù)的最值，即可點M到點B的最短距離．

解答： 滿分（13分）．
解：（Ⅰ）證明：在圖1中，由平幾知識易得DE⊥BC，…（1分）
在圖2中，∵DE⊥BE，DE⊥CE，
∴∠BEC是二面角B-DE-C的平面角，…（2分）
∵二面角B-DE-C是直二面角，∴BE⊥CE．…（3分）
∵DE∩BE=E，DE，BE?平面ABED，∴CE⊥平面ABED，…（4分）
又CE?平面AEC，∴平面AEC⊥平面ABED．  …（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE，BE，CE兩兩互相垂直，
以E為原點，分別以EB，EC，ED為x，y，z軸，建立空間直角坐標系E-xyz，如圖所示．
…（6分）
則E（0，0，0），A(1，0，

3

)，B（2，0，0），C（0，1，0），D(0，0，

3

)，G(-1，0，

3

)，

EA

=(1，0，

3

)，

EC

=(0，1，0)．
設平面ACE的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
則

EA • n =0 EC • n =0

，即

x+ 3 z=0 y=0

．取x=

3

，得

n

=(

3

，0，-1)．…（8分）
設M（x，y，0），則

GM

=(x+1，y，-

3

)．
∵直線GM與平面ACE所成的角為60°，∴

| GM • n |

|GM |• |n|

=sin60°，…（10分）
即

| 3 (x+1)+ 3 |

2• (x+1)2+y2+3

=

3

2

，化簡得y²=2x，…（11分）
從而有|MB|=

(x-2)2+y2

=

(x-2)2+2x

=

x2-2x+4

=

(x-1)2+3

，…（12分）
所以，當x=1時，|MB|取得最小值

3

．
即點M到點B的最短距離為

3

．…（13分）

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系、空間向量、函數(shù)等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想及應用意識．