Question

直線ax－y＝1與曲線x²－2y²＝1相交于P，Q兩點(diǎn)．

(1)當(dāng)a為何值時(shí)，；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

解　(1)聯(lián)立方程

得(1－2a²)x²＋4ax－3＝0，

又知直線與曲線相交于P，Q兩點(diǎn)，可得

設(shè)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

化簡(jiǎn)得(1－2a²)²－(1－2a²)－2＝0，

解得a＝±1即為所求．

(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，

則k_OP·k_OQ＝－1，也就是x₁x₂＋y₁y₂＝0，

x₁x₂＋(ax₁－1)(ax₂－1)＝0，

整理得(1＋a²)x₁x₂－a(x₁＋x₂)＋1＝0，

解得a²＝－2，即不存在滿足題意的實(shí)數(shù)a.