Question

11．（重點中學(xué)做）已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（3，1），離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
（1）求橢圓C的方程；
（2）分別過橢圓C的四個頂點作坐標軸的垂線，圍成如圖所示的矩形，A，B是所圍成的矩形在x軸上方的兩個頂點．若P，Q是橢圓C上兩個動點，直線OP、OQ與橢圓的另一交點分別為P₁、Q₁，且直線OP、OQ的斜率之積等于直線OA、0B的斜率之積，試問四邊形PQP₁Q₁的面積是否為定值？若為定值，求出其值；若不為定值，說明理由（0為坐標原點）．

Answer 1

分析 （1）由離心率公式和點滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）由題意可得，四條垂線的方程為x=±2$\sqrt{3}$，y=±2，A（2$\sqrt{3}$，2），B（-2$\sqrt{3}$，2），可得k_OA•k_OB=-$\frac{1}{3}$，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），運用橢圓方程，求得x₁²+x₂²=12，討論若x₁=x₂，若x₁≠x₂，運用點到直線的距離公式和三角形的面積公式，以及橢圓的對稱性，計算即可得到所求面積為定值．

解答 解：（1）由e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-e²=$\frac{1}{3}$，即a²=3b²，
又$\frac{9}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，解得a=2$\sqrt{3}$，b=2，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）由題意可得，四條垂線的方程為x=±2$\sqrt{3}$，y=±2，
A（2$\sqrt{3}$，2），B（-2$\sqrt{3}$，2），
可得k_OA•k_OB=-$\frac{1}{3}$，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{3}$，|PQ|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，
由P，Q在橢圓上，可得y₁²=4（1-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}$），y₂²=4（1-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{12}$），
由x₁²x₂²=9y₁²y₂²=（12-x₁²）（12-x₂²），即有x₁²+x₂²=12，
若x₁=x₂，則P，P₁，Q，Q₁分別是直線OA，OB與橢圓的交點，
四個點的坐標為（$\sqrt{6}$，$\sqrt{2}$），（-$\sqrt{6}$，-$\sqrt{2}$），（-$\sqrt{6}$，$\sqrt{2}$），（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{2}$），
四邊形PQP₁Q₁的面積為8$\sqrt{3}$；
若x₁≠x₂，則直線PQ：y-y1=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x1），
化為（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+x₂y₁-x₁y₂=0，
則O到直線PQ的距離為d=$\frac{|{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}|}{\sqrt{（（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}+（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}}$，
即有△OPQ的面積為S=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}{y}_{1}{y}_{2}+{{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4{{x}_{1}}^{2}（1-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{12}）+\frac{2}{3}（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}+4{{x}_{2}}^{2}（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}）}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）}$=2$\sqrt{3}$，
由橢圓的對稱性可得，四邊形PQP₁Q₁的面積為4S=8$\sqrt{3}$．
綜上可得，四邊形PQP₁Q₁的面積定值8$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查四邊形面積是否為定值，注意運用分類討論的思想方法，運用點到直線的距離公式和三角形的面積公式，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．