Question

3．已知函數f（x）=ln（x+1），g（x）=-x²-ax．
（1）若a=-2，設函數F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），x≤0}\\{f（x），x＞0}\end{array}\right.$，若|F（x）|≥mx恒成立，求m的取值
（2）若函數G（x）=xf（x-1）+ag（x）+a²x有兩個極值點，x₁，x₂（x₁＜x₂），求證：G（x₁）＜0，G（x₂）＞-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數F（x）的表達式，作出函數|F（x）|和y=mx的圖象，利用數形結合進行求解．
（2）先求出G（x）的表達式，求函數的導數G′（x），令G′（x）=0，由題意可得lnx=2ax-1有兩個解x₁，x₂?函數h（x）=lnx+1-2ax有且只有兩個零點?h′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．利用導數與函數極值的關系即可得出．

解答 解：（1）若a=-2，則g（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1
當F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，}&{x≤0}\\{ln（x+1），}&{x＞0}\end{array}\right.$，若x=0，不等式|F（x）|≥mx恒成立，
作出函數|F（x）|的圖象如圖：
若m=0，則不等式恒成立，
若m＞0，則不等式不滿足條件．
若m＜0，
則當x＞0時恒成立，
則當x＜0時，由y=|F（x）|=x²-2x，
則y′=2x-2，
則當x=0時，函數的切線k=-2，
要使當x＜0時，不等式恒成立，則-2≤m＜0，
綜上-2≤m≤0．
（2）若函數G（x）=xf（x-1）+ag（x）+a²x=xlnx+a（-x²-ax）+a²x=xlnx-ax²=x（lnx-ax），
∵G′（x）=lnx+1-2ax，（x＞0）
令G′（x）=0，由題意可得lnx=2ax-1有兩個解x₁，x₂?函數h（x）=lnx+1-2ax有且只有兩個零點?h′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．
h′（x）=$\frac{1}{x}-2a=\frac{1-2ax}{x}$．
①當a≤0時，h′（x）＞0，G′（x）單調遞增，因此h（x）=G′（x）至多有一個零點，不符合題意，應舍去．
②當a＞0時，令h′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2a}$，
∵x$∈（0，\frac{1}{2a}）$，h′（x）＞0，函數g（x）單調遞增；$x∈（\frac{1}{2a}，+∞）$時，h′（x）＜0，函數h（x）單調遞減．
∴x=$\frac{1}{2a}$是函數h（x）的極大值點，則h（$\frac{1}{2a}$）＞0＞0，即$ln\frac{1}{2a}+1-1=-ln（2a）$＞0，
∴l(xiāng)n（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即$0＜a＜\frac{1}{2}$．
故當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，h（x）=0有兩個根x₁，x₂，且x₁＜$\frac{1}{2a}$＜x₂，又h（1）=1-2a＞0，
∴x₁＜1＜$\frac{1}{2a}$＜x₂，從而可知函數G（x）在區(qū)間（0，x₁）上遞減，在區(qū)間（x₁，x₂）上遞增，在區(qū)間（x₂，+∞）上遞減．
∴G（x₁）＜G（1）=-a＜0，G（x₂）＞G（1）=-a＞-$\frac{1}{2}$．
故得G（x₁）＜0，G（x₂）＞-$\frac{1}{2}$

點評 本題考查了利用導數研究函數極值的方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，綜合性較強，難度較大．