Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

與x=1時(shí)都取得極值
（1）求a，b的值和函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求c的取值范圍；
（3）若對(duì)x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)所給的函數(shù)的解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，解方程組即可，寫出函數(shù)的解析式．
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出極值，令極大值大于b，極小值小于b，解此不等式組即可求得結(jié)果．
（3）將不等式不等式f（x）＜c²恒成立，轉(zhuǎn)化為x∈[-1，2]，不等式f_max（x）＜c²恒成立，求函數(shù)的最大值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+c，∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函數(shù)f（x）在x=-

2

3

與x=1時(shí)都取得極值，
∴f′（-

2

3

）=0，f′（1）=0，
即f′（-

2

3

）=

12

9

-

4a

3

+b=0，f′（1）=3+2a+b=0 
得a=-

1

2

，b=-2，
經(jīng)檢驗(yàn)，a=，b=-2符合題意．
則f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
列表

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-

2

3

）和（1，+∞）．
（2）由（1）可得函數(shù)f（x）的極大值為f（-

2

3

）=

22

27

+c，極小值f（1）=-

3

2

+c，
要使y=b=-2與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
則

22 27 +c＞-2 - 3 2 +c＜-2

，即

c＞- 76 27 c＜- 1 2

，即-

76

27

＜c＜-

1

2

，
即c的取值范圍是-

76

27

＜c＜-

1

2

．
（3）對(duì)x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，
則等價(jià)為對(duì)x∈[-1，2]，不等式f_max（x）＜c²恒成立，
∵f（-1）=

1

2

+c，f（2）=2+c，函數(shù)f（x）的極大值為f（-

2

3

）=

22

27

+c，極小值f（1）=-

3

2

+c，
∴函數(shù)的最大值為f（2）=2+c，
要使不等式f_max（x）＜c²恒成立，
則2+c＜c²，即c²-c-2＞0，解得c＞2或c＜-1，
即c的取值范圍是c＞2或c＜-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．