Question

已知數(shù)列{a_n}的前項n和為S_n，a₁=1，S_n與-3S_n+1的等差中項是-

2

3

（n∈N⁺）
（1）證明數(shù)列{S_n-

2

3

}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若對任意正整數(shù)n，不等式k≥S_n恒成立，求實數(shù)k的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n與-3S_n+1的等差中項是-，可得S_n-3S_n+1=-

4

3

，即S_n+1=

1

3

S_n+

4

9

，進而可得

Sn+1- 2 3

Sn- 2 3

=

1

3

，從而得到數(shù)列{S_n-

2

3

}為等比數(shù)列；
（2）由（1）中結(jié)合可得S_n的表達式，根據(jù)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，驗證n=1時是否成立，即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得S_n是單調(diào)遞減數(shù)列，若不等式k≥S_n恒成立，僅須k≥S_n的最大值S₁即可，求出最大值和k的范圍即得答案．

解答： 解：（1）因為S_n與-3S_n+1的等差中項是-

2

3

，
所以S_n-3S_n+1=-

4

3

，即S_n+1=

1

3

S_n+

4

9

，…（2分）
由此得S_n+1-

2

3

=

1

3

（S_n-

2

3

），…（3分）
即

Sn+1- 2 3

Sn- 2 3

=

1

3

，…（4分）
∵S₁-

2

3

=a₁-

2

3

=

1

3

，
∴數(shù)列{S_n-

2

3

}是以

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列．…（5分）
（2）由（1）得S_n-

2

3

=

1

3

×（

1

3

）^n-1=

1

3n

，即S_n=

1

3n

+

2

3

，…（6分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

3n

+

2

3

-（

1

3n-1

+

2

3

）=-

2

3n

…（8分）
∵n=1時，a₁=-

2

3

，不適合上式，
所以a_n=

1，     n=1 - 2 3n ，n≥2

．…（9分）
（3）要使不等式k≥S_n對任意正整數(shù)n恒成立，即k大于或等于S_n的所有值．
∵S_n=

1

3n

+

2

3

是單調(diào)遞減數(shù)列，…（10分）
且當(dāng)n=1時，S_n取得最大值1，…（11分）
要使k大于或等于S_n的所有值，即k≥1，…（13分）
所以實數(shù)k的最小值為1．…（14分）

點評：本題考查的知識點是等比數(shù)列的確定，由前項n和為S_n求數(shù)列的通項公式，以及利用數(shù)列的單調(diào)性求解恒成立問題，是數(shù)列問題的綜合應(yīng)用，難度較大．