Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為d，前n項(xiàng)和為S_n，且S₃•S₅+30=0，
（1）若d=3，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）若a₁∈R，求實(shí)數(shù)d的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把d=3代入S₃•S₅+30=0可得a₁的方程，解方程即可得通項(xiàng)公式；
（2）由S₃•S₅+30=0可得a₁²+4da₁+3d²+2=0，由△=（4d）²-4（3d²+2）≥0解不等式可得．

解答： 解：（1）當(dāng)d=3時(shí)，由S₃•S₅+30=0可得
（3a₁+3×3）•（5a₁+3×10）+30=0，
解得a₁=-4或a₁=-5，
當(dāng)a₁=-4時(shí)，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=-4+3（n-1）=3n-7；
當(dāng)a₁=-5時(shí)，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=-5+3（n-1）=3n-8；
（2）由S₃•S₅+30=0可得（3a₁+3d）•（5a₁+10d）+30=0，
整理可得a₁²+4da₁+3d²+2=0，∵a₁∈R，
∴關(guān)于a₁的一元二次方程必滿足△=（4d）²-4（3d²+2）≥0
解不等式可得實(shí)數(shù)d的取值范圍為d≤-

2

或d≥

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的求和公式，涉及一元二次不等式的解集，屬中檔題．