Question

17．如圖，直角三角形ACB的斜邊AB=2$\sqrt{3}$，∠ABC=$\frac{π}{6}$，點P是以點C為圓心1為半徑的圓上的動點．
（Ⅰ）當點P在三角形ABC外，且CP⊥AB時，求sin∠PBC；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在△BCP中，使用余弦定理求出BP，再使用正弦定理計算sin∠PBC；
（2）以點C為原點，以CA，CB為坐標軸建立平面直角系，設P（cosθ，sinθ），求出$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$的坐標，代入數(shù)量積的坐標運算求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

解答 解：（I）當點P在三角形ABC外，且CP⊥AB時，∠BCP=$\frac{π}{2}+\frac{π}{6}$=$\frac{2π}{3}$，
又BC=AB$•cos\frac{π}{6}$=3，CP=1，∴BP=$\sqrt{B{C}^{2}+C{P}^{2}-2BC•CP•cos\frac{2π}{3}}$=$\sqrt{13}$．
在△BCP中，由正弦定理得$\frac{CP}{sinPBC}=\frac{BP}{sinBCP}$，即$\frac{1}{sin∠PBC}=\frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
解得sin∠PBC=$\frac{\sqrt{39}}{26}$．
（II）以點C為原點，以CA，CB為坐標軸建立平面直角系如圖：
則A（$\sqrt{3}$，0），B（0，3），設P（cosθ，sinθ），
則$\overrightarrow{PA}$=（$\sqrt{3}-cosθ$，-sinθ），$\overrightarrow{PB}$=（-cosθ，3-sinθ），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=cosθ（cosθ-$\sqrt{3}$）+sinθ（sinθ-3）=-$\sqrt{3}$cosθ-3sinθ+1
=-2$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{6}$）+1．
∵-1≤sin（$θ+\frac{π}{6}$）≤1，
∴1-2$\sqrt{3}$≤$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$≤1+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正余弦定理，向量在幾何中的應用，屬于中檔題．