Question

18．若函數(shù)f（x）=e^x-mx²定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)閇0，+∞），則m的值為$\frac{{e}^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，即y1=e^x與y2=mx²在x∈（0，+∞）內(nèi)有公共切線，
根據(jù)切點(diǎn)（x₀，y₀）求出m的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=e^x-mx²定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)閇0，+∞），
∴函數(shù)f（x）=e^x-mx²在x∈（0，+∞）時(shí)有唯一的零點(diǎn)；
設(shè)y1=e^x，y2=mx²，且x∈（0，+∞），
則兩函數(shù)在定義域（0，+∞）內(nèi)有公共切線，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則y1′=e^x，y2′=2mx，
切線的斜率為k=${e}^{{x}_{0}}$=2mx₀①，
且y₀=${e}^{{x}_{0}}$=m${{x}_{0}}^{2}$②；
由①②組成方程組，解得
x₀=2，m=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{{e}^{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域、值域以及零點(diǎn)的應(yīng)用問題，也考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．