Question

3．已知n∈N^*，且n＞1，三個數(shù)ln$\frac{n+1}{n}$、$\frac{1}{n+1}$、$\frac{1}{n}$的大小關系是（　　）

• A． $\frac{1}{n}$＞ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$
• B． ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$
• C． $\frac{1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$＞ln$\frac{n+1}{n}$
• D． $\frac{1}{n+1}$＞$\frac{1}{n}$＞ln$\frac{n+1}{n}$

Answer 1

分析 構造函數(shù)f（x）=x-ln（1+x），x＞0，利用導數(shù)判斷f（x）的單調性，得出x＞ln（1+x），令x=$\frac{1}{n}$得$\frac{1}{n}$＞ln$\frac{n+1}{n}$；同理，設g（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+x}$，x＞0，得出ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$，即得$\frac{1}{n}$＞ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$．

解答 解：設函數(shù)f（x）=x-ln（1+x），x＞0，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{1+x}$＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=0，
∴x＞ln（1+x）；
令x=$\frac{1}{n}$，n∈N^*，且n＞1，
則$\frac{1}{n}$＞ln（1+$\frac{1}{n}$）=ln$\frac{n+1}{n}$；
同理，設g（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+x}$，x＞0，
∴g′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{{（1+x）}^{2}}$=$\frac{x}{{（1+x）}^{2}}$＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴l(xiāng)n（1+x）＞$\frac{x}{1+x}$；
令x=$\frac{1}{n}$，n∈N^*，且n＞1，
∴l(xiāng)n（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}$，
即ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$；
綜上，$\frac{1}{n}$＞ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$．
故選：A．

點評 本題考查了構造函數(shù)的應用問題，也考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性以及利用函數(shù)的單調性比較大小的應用問題，是綜合性題目．