Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，CD=2，AB=4，AD=BC=，E、F分別為CD、AB中點(diǎn)，沿EF將梯形AFED折起，使得∠AFB=60°，點(diǎn)G為FB的中點(diǎn)．
（1）求證：AG⊥平面BCEF
（2）求DG的長(zhǎng)度．

Answer 1

解：（1）∵AF=BF且∠AFB=60°，
∴△ABF是等邊三角形
又∵G是FB的中點(diǎn)，
∴AG⊥BF
∵翻折前的等腰梯形ABCD中，E、F分別是CD、AB的中點(diǎn)，
∴EF⊥AB，可得翻折后EF⊥AF，EF⊥BF
∵AF、BF是平面ABF內(nèi)的相交直線，
∴EF⊥平面ABF
∵AG平面ABF，
∴AG⊥EF，
∵BF、EF是平面BCEF內(nèi)的相交直線，
∴AG⊥平面BCEF
（2）取EC中點(diǎn)M，連接MC、MD、MG
∵AF∥DE，AF平面ABF，DE平面ABF，
∴DE∥平面ABF，
同理可得：CE∥平面ABF，
∵DE、CE是平面DCE內(nèi)的相交直線，
∴平面DCE∥平面ABF，可得AG∥DM
∵AG⊥平面BCEF，∴DM⊥平面BCEF，
∵M(jìn)G平面BCEF，∴DM⊥MG，
∵梯形BFEC中，EC=FG=BG=1，BF∥EC，
∴四邊形EFGC是平行四邊形，可得EF∥CG
∵EF⊥平面ABF，
∴CG⊥平面ABF，可得CG⊥BG
Rt△BCG中，BG=1，BC=，可得CG==1
∴Rt△GCM中，GM==
又∵DM=CE=，
∴Rt△GDM中，DG==