Question

（本小題10分）已知圓C：x²＋（y－3）²＝4，一動直線l過A（－1,0）與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，l與直線m：x＋3y＋6＝0相交于點(diǎn)N.
（Ⅰ）求證：當(dāng)l與m垂直時(shí)，l經(jīng)過圓心C；
（Ⅱ）當(dāng)＝2時(shí)，求直線l的方程;
（Ⅲ）請問：是否與直線l的傾斜角有關(guān)，若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)已知求出直線方程后再驗(yàn)證圓心滿足所求直線方程；（Ⅱ）設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則＝r²－d².利用此公式即可求得直線方程，注意斜率的討論；（Ⅲ）有關(guān)探索性問題，一般是先假設(shè)存在滿足題意的元素，經(jīng)過推理論證，如果得到可以成立的結(jié)果，就可作出存在的結(jié)論；若得到與已知條件、定義、公理、定理、性質(zhì)相矛盾的結(jié)果，則說明假設(shè)不存在．
試題解析：（1）∵直線l與直線垂直，且
∴，又


,即圓心在直線上.
當(dāng)直線l與m垂直時(shí)，直線l必過圓心C.    3分
（2）①當(dāng)直線l與軸垂直時(shí)，易知符合題意．    4分
②當(dāng)直線l與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即．
，．
則由，得．
∴直線l：．
從而所求直線l的方程為或     6分
（3），
∴
①當(dāng)直線l與軸垂直，易得，則
又，
∴          7分
②當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，
則由，得．        8分
則．
∴．     9分
綜上，與直線l的斜率無關(guān)，且．    10分
考點(diǎn)：解析幾何的綜合應(yīng)用