Question

設點A、B的坐標分別為（0，1），（0，-1），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積是常數(shù)-

1

m+1

（m≠-1）．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx-

1

3

交曲線C于點P，Q，是否存在m，使得以PQ為直徑的圓恒過點A？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設點M的坐標為（x，y），利用直線AM、BM的斜率之積是常數(shù)-

1

m+1

，列出關系式，即可得到曲線C的方程．
（Ⅱ）假設存在．將l：y=kx-

1

3

代入

x2

m+1

+y2=1，利用韋達定理，通過

AP

•

AQ

=0，得到-（1+k²）8（m+1）-8（m+1）k²+16[（m+1）k²+1]=0．求出m=1．使得以PQ為直徑的圓恒過點A．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設點M的坐標為（x，y），
因為kAM=

y-1

x

，kBM=

y+1

x

，
所以

y-1

x

•

y+1

x

=-

1

m+1

，即

x2

m+1

+y2=1．
所以，曲線C的方程是

x2

m+1

+y2=1(x≠0)．…（4分）
（Ⅱ）假設存在．將l：y=kx-

1

3

代入

x2

m+1

+y2=1，得[(m+1)k2+1]x2-

2

3

(m+1)kx+(

1

3

)2(m+1)=m+1．
即9[（m+1）k²+1]x²-6（m+1）kx-8（m+1）=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
由韋達定理，得

x1+x2= 6(m+1)k 9[(m+1)k2+1] x1x2= -8(m+1) 9[(m+1)k2+1]

．
依題意∠PAQ=90°，所以

AP

•

AQ

=0，
即（x₁，y₁-1）（x₂，y₂-1）=0．∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=0，x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)=0．
即9（1+k²）x₁x₂-12k（x₁+x₂）+16=0．
于是9(1+k2)

-8(m+1)

9[(m+1)k2+1]

-12k

6(m+1)k

9[(m+1)k2+1]

+16=0．
即-（1+k²）8（m+1）-8（m+1）k²+16[（m+1）k²+1]=0．
化簡，得m=1．
所以，存在m=1，使得以PQ為直徑的圓恒過點A．…（13分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的位置關系，存在性問題的解法，考查分析問題解決問題的能力．