Question

9．已知函數(shù)$f（x）={sin^2}ωx+（2\sqrt{3}sinωx-cosωx）cosωx-λ$的圖象關于直線x=π對稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈（$\frac{1}{2}$，1）．
（1）求函數(shù)f （x）的最小正周期；
（2）若存在${x_0}∈[0，\frac{3π}{5}]$，使f（x₀）=0，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-λ，利用正弦函數(shù)的對稱性解得：2ωx-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，結合范圍ω∈（$\frac{1}{2}$，1），可得ω的值，利用周期公式即可得解．
（2）令f（x₀）=0，則λ=2sin（$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$），結合范圍-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，由正弦函數(shù)的性質可得-$\frac{1}{2}$≤sin（$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$）≤1，進而得解λ的取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）$f（x）={sin^2}ωx+（2\sqrt{3}sinωx-cosωx）cosωx-λ$
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx-λ=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-λ，
∵函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=π對稱，
∴解得：2ωx-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可得：ω=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{3}$（k∈Z），
∵ω∈（$\frac{1}{2}$，1）．可得k=1時，ω=$\frac{5}{6}$，
∴函數(shù)f （x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{6π}{5}$…6分
（2）令f（x₀）=0，則λ=2sin（$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$），
由0≤x₀≤$\frac{3π}{5}$，可得：-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
則-$\frac{1}{2}$≤sin（$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$）≤1，
根據(jù)題意，方程λ=2sin（$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$）在[0，$\frac{3π}{5}$]內有解，
∴λ的取值范圍為：[-1，2]…12分

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的對稱性，三角函數(shù)的周期公式，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于中檔題．