【題目】已知函數(shù).

(1)若在區(qū)間有最大值,求整數(shù)的所有可能取值;

(2)求證:當時, .

【答案】(1) ;(2)證明見解析.

【解析】試題分析:(1)在區(qū)間有最大值,即是在區(qū)間有極大值,求出,求出極大值點 ,令 ,從而可得結果;(2)等價于,只需證明即可.

試題解析:(1)f′(x)=(x2x-2)ex,

x<-2時,f′(x)>0,f(x)單調遞增,

當-2<x<1時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,

x>1時,f′(x)>0,f(x)單調遞增,

由題知:a<-2<a+5,得:-7<a<-2,

a=-6、-5、-4、-3,

a=-6、-5、-4,顯然符合題意,

a=-3時,f(-2)=5e―2,f(2)=e2,f(-2)<f(2),不符合題意,舍去.

故整數(shù)a的所有可能取值-6,―5,-4.

(2)f(x)<-3lnxx3+(2x2-4x)ex+7可變?yōu)?-x2+3x-1)ex<-3lnxx3+7,

g(x)=(-x2+3x-1)exh(x)=-3lnxx3+7,

g′(x)=(-x2x+2)ex

0<x<2時,g(x)>0,g(x)單調遞增,

x>2時,g(x)<0,g(x)單調遞減,

g(x)的最大值為g(2)=e2,

h′(x)=,當0<x<1時,h′(x)<0,h(x)單調遞減,

x>1時,h′(x)>0,h(x)單調遞增,

h(x)的最小值為h(1)=8>e2

g(x)的最大值小于h(x)的最小值,

故恒有g(x)<h(x),即f(x)<-3lnxx3+(2x2-4x)ex+7.

練習冊系列答案
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(Ⅱ)已知在患肺心病的10位女性中,有3位患胃。F(xiàn)在從這10位女性中,隨機選出3名進行其它方面的排查,記選出患胃病的女性人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望;

附:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

K

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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