Question

設(shè)三角形ABC的內(nèi)角為A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，

m

=(cosA，cosC)，

n

=(

3

c-2b，

3

a)，且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）若AC=BC，且BC邊上的中線AM的長為

7

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩向量垂直時數(shù)量積為0列出關(guān)系式，再利用正弦定理化簡，求出cosA的值，即可確定出角A的大��；
（Ⅱ）由A的度數(shù)求出C的度數(shù)，設(shè)AC=x，表示出MC，再由AM的長，在三角形AMC中，利用余弦定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（cosA，cosC），

n

=（

3

c-2b，

3

a），

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，即（

3

c-2b）cosA+

3

acosC=0，
利用正弦定理化簡得：（

3

sinC-2sinB）cosA+

3

sinAcosC=0，
即2sinBcosA=

3

（sinAcosC+cosAsinC）=

3

sin（A+C）=

3

sinB，
∴cosA=

3

2

，
則A=

π

6

；
（Ⅱ）由第一問知A=

π

6

，
又AC=BC，∴C=

2π

3

，
設(shè)AC=x，則MC=

1

2

x，AM=

7

，
在△AMC中，由余弦定理得AC²+MC²-2AC•MCcosC=AM²，即x²+（

1

2

x）²-2x•

x

2

cos

2π

3

=（

7

）²，
解得：x=2，
則S_△ABC=

1

2

×2×2×sin

2π

3

=

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．