【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)給出的一個取值,使得曲線存在斜率為的切線,并說明理由;
(Ⅱ)若存在極小值和極大值,證明: 的極小值大于極大值.
【答案】(I)詳見解析;(II)詳見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)先對原函數(shù)求導(dǎo),只需令方程 有解即可得 的范圍,進(jìn)而可得的一個取值,在驗證即可;(Ⅱ)對求導(dǎo);求方程的所有實數(shù)根,列表格判斷各個根左右兩邊符合。進(jìn)而可得結(jié)果.
試題解析:(Ⅰ)函數(shù)的定義域是且,且.
當(dāng)時,曲線存在斜率為的切線.證明如下:
曲線存在斜率為的切線方程存在上的解,
令,整理得,
解得,或.
所以,當(dāng)時,曲線存在斜率為的切線.
注:本題答案不唯一,只要均符合要求.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
①當(dāng)時, 恒成立,
函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增,無極值,不合題意.
②當(dāng)時,令,整理得.
由,
所以,上述方程必有兩個不相等的實數(shù)解, ,不妨設(shè).
由得.
, 的變化情況如下表:
所以, 存在極大值,極小值.
.
因為,且.
所以, ,
所以.
所以的極小值大于極大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線 與橢圓 有且只有一個公共點
.
(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)若直線 交C于A,B兩點,且PA⊥PB,求b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 恰有兩個極值點,且.
(1)求實數(shù) 的取值范圍;
(2)若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】漳州水仙鱗莖碩大,箭多花繁,色美香郁,素雅娟麗,有“天下水仙數(shù)漳州”之美譽(yù).現(xiàn)某水仙花雕刻師受雇每天雕刻250粒水仙花,雕刻師每雕刻一�?少�1.2元,如果雕刻師當(dāng)天超額完成任務(wù),則超出的部分每粒多賺0.5元;如果當(dāng)天未能按量完成任務(wù),則按完成的雕刻量領(lǐng)取當(dāng)天工資.
(Ⅰ)求雕刻師當(dāng)天收入(單位:元)關(guān)于雕刻量(單位:粒, )的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)該雕刻師記錄了過去10天每天的雕刻量(單位:粒),整理得下表:
雕刻量 | 210 | 230 | 250 | 270 | 300 |
頻數(shù) | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以10天記錄的各雕刻量的頻率作為各雕刻量發(fā)生的概率.
(�。┣笤摰窨處熯@10天的平均收入;
(ⅱ)求該雕刻師當(dāng)天的收入不低于300元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在幾何體中,底面為矩形, , , , , 為棱上一點,平面與棱交于點.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求證: ;
(Ⅲ)若,試問平面是否可能與平面垂直?若能,求出值;若不能,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品,估計能獲得10萬元到1 000萬元的投資收益.現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個對科研課題組的獎勵方案:獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,且獎金不超過9萬元,同時獎金不超過投資收益的20%.
(1)請分析函數(shù)y= +1是否符合公司要求的獎勵函數(shù)模型,并說明原因;
(2)若該公司采用函數(shù)模型y= 作為獎勵函數(shù)模型,試確定最小的正整數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線是過點,傾斜角為的直線,以直角坐標(biāo)系的原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是.
(1)求曲線的普通方程和曲線的一個參數(shù)方程;
(2)曲線與曲線相交于兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)一位高三班主任對本班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對班級工作的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查, 得倒的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示:
(1)如果隨機(jī)調(diào)查這個班的一名學(xué)生,那么抽到不積極參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生的概率是多少?
(2)若不積極參加班級工作的且學(xué)習(xí)積極性高的7名學(xué)生中有兩名男生,現(xiàn)從中抽取2名學(xué)生參加某項活動,問2名學(xué)生中有1名男生的概率是多少?
(3)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關(guān)系?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)求函數(shù)的零點個數(shù);
(Ⅱ)證明: 是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件.
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