【題目】已知直線 與橢圓 有且只有一個公共點(diǎn)
.
(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)若直線 交C于A,B兩點(diǎn),且PA⊥PB,求b的值.
【答案】(1) ;(2)
【解析】試題分析:(I)聯(lián)立直線與橢圓方程,消去,可得的方程,運(yùn)用判別式為0,再將的坐標(biāo)代入橢圓方程,解方程可得,進(jìn)而得到橢圓方程;
(II)設(shè)聯(lián)立直線和橢圓方程,消去,可得的方程,運(yùn)用判別式大于0,韋達(dá)定理,再由在直線上,代入直線方程,由垂直的條件,運(yùn)用向量的數(shù)量積為0,化簡整理,解方程可得的值.
試題解析:
(I)聯(lián)立直線l:y=﹣x+3與橢圓C:mx2+ny2=1(n>m>0),
可得(m+n)x2﹣6nx+9n﹣1=0,
由題意可得△=36n2﹣4(m+n)(9n﹣1)=0,即為9mn=m+n,
又P在橢圓上,可得4m+n=1,
解方程可得m=,n=,
即有橢圓方程為+=1;
(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立直線y=b﹣x和橢圓方程,可得3x2﹣4bx+2b2﹣6=0,
判別式△=16b2﹣12(2b2﹣6)>0,
x1+x2=,x1x2=,
y1+y2=2b﹣(x1+x2)=,y1y2=(b﹣x1)(b﹣x2)=b2﹣b(x1+x2)+x1x2=,
由PA⊥PB,即為?=(x1﹣2)(x2﹣2)+(y1﹣1)(y2﹣1)
=x1x2﹣2(x1+x2)+4+y1y2﹣(y1+y2)+1
=﹣2?+﹣+5=0,
解得b=3或,代入判別式,b=3不成立.
則b=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=e|x|+|x|,若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個不同的實根,則實數(shù)k的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在區(qū)間[2a,a+1]上不單調(diào),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)在區(qū)間[﹣1,1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方,試確定實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x∈(﹣∞,0)時,f(x)=﹣x2+mx﹣1.
(1)當(dāng)x∈(0,+∞)時,求f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=0有五個不相等的實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn+n=2an(n∈N*).
(1)證明:數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=(2n+1)an+2n+1,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.求滿足不等式>2010的n的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】孝感星河天街購物廣場某營銷部門隨機(jī)抽查了100名市民在2017年國慶長假期間購物廣場的消費(fèi)金額,所得數(shù)據(jù)如表,已知消費(fèi)金額不超過3千元與超過3千元的人數(shù)比恰為3:2.
(1)試確定, , , 的值,并補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖);
(2)用分層抽樣的方法從消費(fèi)金額在和的兩個群體中抽取5人進(jìn)行問卷調(diào)查,則各小組應(yīng)抽取幾人?若從這5人中隨機(jī)選取2人,則此2人來自同一群體的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知全集U=R,集合A={x|1<x≤8},B={x|2<x<9},C={x|x≥a}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)如果A∩C≠,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)=x+ ﹣2.
(1)證明:函數(shù)g(x)在[ ,+∞)上是增函數(shù);
(2)若不等式g(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,求實數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)給出的一個取值,使得曲線存在斜率為的切線,并說明理由;
(Ⅱ)若存在極小值和極大值,證明: 的極小值大于極大值.
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