Question

已知f（x）=log_a（a＞0，a≠1）．
（1）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（2）當x∈（r，a-2）時，f（x）的值域為（1，+∞），求a與r的值；
（3）若f（x）≥log_a2x，求x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）任取1＜x₁＜x₂，則
f（x₂）-f（x₁）=log_a-log_a
=log_a
=log_a．
又∵x₂＞x₁＞1，∴x₁-x₂＜x₂-x₁．
∴0＜x₁x₂-x₂+x₁-1＜x₁x₂-x₁+x₂-1．
∴0＜＜1．
當a＞1時，f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
當0＜a＜1時，f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（2）由＞0得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
∵=1+≠1，∴f（x）≠0．
當a＞1時，
∵x＞1?f（x）＞0，x＜-1?f（x）＜0，
∴要使f（x）的值域是（1，+∞），只有x＞1．
又∵f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴f^-1（x）在（1，+∞）上也是減函數(shù)．
∴f（x）＞1?1＜x＜f^-1（1）=．
∴∴
當0＜a＜1時，
∵x＞1?f（x）＜0，x＜-1?f（x）＞0，
∴要使值域是（1，+∞），只有x＜-1．
又∵f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，
∴f（x）＞1?-1＞x＞f^-1（1）=．
∴無解．
綜上，得a=2+，r=1．
（3）由f（x）≥log_a2x得
當a＞1時，?＜x＜且x＞1．
∴1＜x＜．
當0＜a＜1時，
∴x＞．
分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，通過對a分類討論判斷出f（x）的單調(diào)性．
（2）求出函數(shù)的定義域，對a分類討論求函數(shù)的值域；利用原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系列出方程，求出a與r．
（3）對a分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性脫去對數(shù)符號，解不等式組求出解集．
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義、原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系、利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解對數(shù)不等式、分類討論的數(shù)學思想．