Question

已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且a_n²=S_2n-1，數(shù)列{b_n}滿足b₁=-

1

2

，2b_n+1=b_n-1．
（Ⅰ）求a_n，并證明數(shù)列{b_n+1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若c_n=a_n（b_n+1），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a_n²=S_2n-1，求出數(shù)列的前兩項(xiàng)，通過等差數(shù)列求出通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的定義證明{b_n+1}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）利用等比數(shù)列求出通項(xiàng)公式，化簡c_n=a_n（b_n+1），利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n²=S_2n-1
令n=1得a₁²=S₁=a₁解a₁=1
令n=2得a₂²=S₃=3a₂，得a₂=3
∵{a_n}為等差數(shù)列，∴a_n=2n-1  
證明：∵b_n+1≠0，

bn+1+1

bn+1

=

1 2 bn- 1 2 +1

bn+1

=

1 2 (bn+1)

bn+1

=

1

2

又b₁+1=

1

2

，故{b_n+1}是以

1

2

為首項(xiàng)公比為

1

2

的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（1）知，∵bn+1=(

1

2

)n，
∴cn=(2n-1)(

1

2

)n故Tn=(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+5×(

1

2

)3+…+(2n-1)(

1

2

)n

1

2

Tn=(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+(2n-3)(

1

2

)n+(2n-1)(

1

2

)n+1
∴

1

2

Tn=(

1

2

)1+2[(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4+…+(

1

2

)n]-(2n-1)(

1

2

)n+1
=

3

2

-(

1

2

)n-1-

(2n-1)

2

(

1

2

)n
∴Tn=3-(2n+3)(

1

2

)n

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列求和，錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，等比數(shù)列的判斷，考查分析問題解決問題的能力．