Question

20．已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足$4{S_n}=a_n^2+2{a_n}（{n∈{N^*}}）$，則a_n=2n．

Answer 1

分析 把n=1代入已知的式子求出a₁的值，當(dāng)n≥2時(shí)可得$4{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}$，利用a_n=S_n-S_n-1 兩式作差后化簡得到遞推公式，由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式求出答案．

解答 解：由題意知，$4{S}_{n}={a}_{n}^{2}+2{a}_{n}（n∈{N}^{*}）$，
當(dāng)n=1時(shí)，$4{S}_{1}={a}_{1}^{2}+2{a}_{1}$，
解得a₁=2或a₁=0（舍去），
當(dāng)n≥2時(shí)，$4{S}_{n}={a}_{n}^{2}+2{a}_{n}$，①
$4{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}$，②，
①-②得，$4{a}_{n}={a}_{n}^{2}+2{a}_{n}-{a}_{n-1}^{2}-2{a}_{n-1}$，
則${a}_{n}^{2}-{a}_{n-1}^{2}-2（{{a}_{n}+a}_{n-1}）=0$，
所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
因?yàn)閿?shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，
所以a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2，
則數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)、公差的等差數(shù)列，
所以a_n=2+2（n-1）=2n，
故答案為：2n．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系：當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1，數(shù)列的遞推公式，以及等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查化簡、變形能力．