Question

9．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞a＞0}）$的左焦點關于C的一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設雙曲線的左焦點為F（-c，0），求出漸近線方程，設F關于y=$\frac{a}$x的對稱點為（m，-$\frac{a}$m），由中點坐標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得2m=c，代入可得a，b的關系，再由離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞a＞0}）$的左焦點為F（-c，0），
漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設F關于y=$\frac{a}$x的對稱點為（m，-$\frac{a}$m），
由題意可得$\frac{\frac{bm}{a}}{-c-m}$=-$\frac{a}$，（*）
且$\frac{1}{2}$（0-$\frac{a}$m）=$\frac{1}{2}$•$\frac{a}$（m-c），
可得m=$\frac{1}{2}$c，代入（*）可得b²=3a²，
c²=a²+b²=4a²，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，點關于直線的對稱問題的解法，考查運算化簡能力，屬于中檔題．