Question

要制作一個如圖的框架（單位：米），要求所圍成的總面積為19.5（米²），其中ABCD是一個矩形，EFCD是一個等腰梯形，梯形高h=AB，tan∠FED=，設AB=x米，BC=y米．
（Ⅰ）求y關(guān)于x的表達式；
（Ⅱ）如何設計x，y的長度，才能使所用材料最少？

Answer 1

解：（1）如圖，等腰梯形EFCD中，DH是高，

依題意：DH=AB=x，EH===，
∴=xy+（x+x+）=xy+，∴y=，
∵x＞0，y＞0，∴，解得0＜x＜，
∴所求的表達式為：y=，（0＜x＜）
（2）在RT△DEH中，∵tan∠FED=，∴sin∠FED=，
∴DE===，
∴l(xiāng)=（2x+2y）+2×+（2×）=2y+6x
==+≥2=26，
當且僅當=，即x=3時取等號，此時y==4，
∴AB=3米，BC=4米時，用材料最少
分析：（1）依題意可表示出梯形的高，和底邊長，進而可得表示面積，可建立x，y的關(guān)系式，化為函數(shù)式即可；（2）RT△DEH中，可表示出DE，進而可得l=2y+6x=+，由基本不等式可得答案．
點評：本題考查求函數(shù)解析的方法，涉及基本不等式的應用，屬中檔題．