Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+1（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）若f（x₀）=

6

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x₀的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，利用周期公式求得函數(shù)的最小正周期．
利用x的范圍，確定2x+

π

6

的范圍，進而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大和最小值．
（2）利用f（x₀）=

6

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，求出cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

，利用兩角和與差的三角函數(shù)公式求值．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx-2sin2x+1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時，即x=

π

3

時函數(shù)有最大值，最大值為2；
當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

時，即x=

π

2

時，函數(shù)有最小值為-1；
（2）f（x₀）=

6

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，
則sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
所以cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

，
cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=cos（2x₀+

π

6

）cos

π

6

+sin（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=

3-4 3

10

．

點評：本題考查了三角函數(shù)解析式的化簡與性質(zhì)的運用，角的范圍以及函數(shù)值的符號確定是容易出錯的地方．