Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|
（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=4時(shí)，求f（x）在區(qū)間（1，

9

2

）上的最值；
（Ⅲ）設(shè)a≠0函數(shù)f（x）在（p，q）上既有最大值又有最小值，請(qǐng)分別求出p，q的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，f(x)=

x(x-4)，x∈[4，+∞) x(4-x)，x∈(-∞，4)

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）由f′（x）=

2x-4，x≥4 4-2x，x＜4

，f′（x）＜0，得2＜x＜4，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）在區(qū)間（1，

9

2

）上的最值．
（3）f(x)=

x(x-a)，x≥a x(a-x)，x＜a

，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想能求出p，q的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=x|x-4|，
∴f(x)=

x(x-4)，x∈[4，+∞) x(4-x)，x∈(-∞，4)

，
∴f′（x）=

2x-4，x≥4 4-2x，x＜4

，由f′（x）＞0，得x＞4或x＜2，
∴單調(diào)增區(qū)間為（-∞，2]，[4，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）∵f(x)=

x(x-4)，x∈[4，+∞) x(4-x)，x∈(-∞，4)

，
∴f′（x）=

2x-4，x≥4 4-2x，x＜4

，
由f′（x）＜0，得2＜x＜4，
f（x）在區(qū)間（1，

9

2

）上的最值為：
f（x）_max=f（2）=4，f（x）_min=f（4）=0…（8分）
（3）f(x)=

x(x-a)，x≥a x(a-x)，x＜a

，…（10分）
①當(dāng)a＞0時(shí)，圖象如圖1所示．
由

y= a2 4 y=x(x-a)

得x=

( 2 +1)a

2

．
∴0≤p＜

a

2

，a＜q≤

2 +1

2

a．…（12分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，圖象如圖2所示．
由

y=- a2 4 y=x(a-x)

得x=

1+ 2

2

a．
∴

2 +1

2

a≤p＜a，

a

2

＜q≤0．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)最值的求法，考查實(shí)數(shù)取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．