Question

5．函數(shù)y=$\frac{3+x+{x}^{2}}{1+x}$（x＞0）的最小值是2$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 利用湊配法和換元法，將函數(shù)的解析式化為對勾函數(shù)的形式，結(jié)合對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到答案．

解答 解：函數(shù)y=$\frac{3+x+{x}^{2}}{1+x}$=$\frac{（x+1）^{2}-（x+1）+3}{x+1}$=x+1+$\frac{3}{x+1}$-1，
令t=x+1，t＞1，
則y=t+$\frac{3}{t}$-1，
由y=t+$\frac{3}{t}$-1在（1，$\sqrt{3}$]上為減函數(shù)，在[$\sqrt{3}$，+∞）上為增函數(shù)，
故當(dāng)t=$\sqrt{3}$時，函數(shù)取最小值2$\sqrt{3}$-1，
故答案為：2$\sqrt{3}$-1

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義，其中利用湊配法和換元法，將函數(shù)的解析式化為對勾函數(shù)的形式，是解答的關(guān)鍵．