Question

18．已知函數(shù)f（x）=cosx•sinx，給出下列四個(gè)說法：
①f（$\frac{23π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
②f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞增；
③將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{3π}{4}$個(gè)單位可得到y(tǒng)=$\frac{1}{2}$cos2x的圖象；
④f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{π}{4}$，0）成中心對(duì)稱．
其中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 利用二倍角的正弦公式化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=cosx•sinx=$\frac{1}{2}$sin2x，∴f（$\frac{23π}{6}$）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{23π}{3}$=$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，故①正確；
在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，故f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞增，故②正確；
將函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x 的圖象向右平移$\frac{3π}{4}$個(gè)單位，得到y(tǒng)=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{3π}{2}$）=$\frac{1}{2}$cos2x的圖象，故③正確；
令x=-$\frac{π}{4}$，可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，故f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{π}{4}$，0）成中心對(duì)稱，故④錯(cuò)誤，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．