Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）滿足2f（x）+xf′（x）＜x，則f（x）在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、3
• C、5
• D、1或3

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：可構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²f（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：令g（x）=x²f（x），則g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）滿足：2f（x）+xf′（x）＜x，
∴g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]＞x²＞0，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）為減函數(shù)，
則g（x）＞g（0）=0，∴f（x）＞0，
又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，
∴f（x）在R上只有一個(gè)零點(diǎn)為x=0．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用構(gòu)造函數(shù)法判斷函數(shù)零點(diǎn)的知識(shí)，合理的構(gòu)造函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．