Question

3．己知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，其前n項(xiàng)和為S_n，若直線y=a₁x與圓（x-1）²+y²=1的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x+y+d=0對(duì)稱，則S_n=（　　）

• A． n²
• B． -n²
• C． $\frac{-{n}^{2}+3n}{2}$
• D． n²-2n

Answer 1

分析 利用直線y=a₁x與圓（x-1）²+y²=1的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x+y+d=0對(duì)稱，可得a₁=1，d=-1，利用等差數(shù)列的求和公式，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵直線y=a₁x與圓（x-1）²+y²=1的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x+y+d=0對(duì)稱，
∴y=a₁x必定和x+y+d=0垂直
∴a₁=1，
∴y=a₁x與圓聯(lián)立可得x²-x=0，
∴x=0或1，
∴兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
代入x+y+d=0，解得：d=-1
∴S_n=n×1+$\frac{n（n-1）}{2}×（-1）$=$\frac{-{n}^{2}+3n}{2}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的對(duì)稱性，考查等差數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．