Question

18．已知a，b∈R，a≠0，曲線y=$\frac{a+2}{x}$，y=ax+2b+1，若兩條曲線在區(qū)間[3，4]上至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則a²+b²的最小值為$\frac{1}{100}$．

Answer 1

分析 由題意兩條曲線在區(qū)間[3，4]上至少有一個(gè)公共點(diǎn)，得到$\frac{a+2}{x}$=x+2b+1有解，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b的直線方程（x²-1）a+2bx+x-2=0，得到a²+b²表示原點(diǎn)到直線的距離的平方，轉(zhuǎn)化為a²+b²=d²=（$\frac{x-2}{{x}^{2}+1}$）²，巧換元，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，求出最值．

解答 解：∵曲線y=$\frac{a+2}{x}$，y=ax+2b+1，
∴$\frac{a+2}{x}$=ax+2b+1，
∴a+2=ax²+2bx+x，
∴（x²-1）a+2bx+x-2=0，
于是可以看作關(guān)于a，b的直線方程，則（a，b）是該直線上的點(diǎn)，
則a²+b²表示原點(diǎn)到直線的距離的平方，
設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為d，根據(jù)到點(diǎn)直線的距離公式得到
d=$\frac{|x-2|}{{{（x}^{2}+1）}^{2}+{4x}^{2}}$，
∴a²+b²=d²=$\frac{{（x-2）}^{2}}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$=（ ${（\frac{x-2}{{x}^{2}+1}）}^{2}$，
令t=x-2，x∈[3，4]，則t∈[1，2]，則x=t+2，
∴a²+b²=d²=（$\frac{t}{{（t+2）}^{2}+1}$）²=（${（\frac{t}{{t}^{2}+4t+5}）}^{2}$=（ $\frac{1}{t+\frac{5}{t}+4}$）²，
設(shè)f（t）=t+$\frac{5}{t}$+4，t∈[1，2]，
∴f′（t）=1-$\frac{5}{{t}^{2}}$＜0在∈[1，2]恒成立，
∴函數(shù)f（t）在∈[1，2]為減函數(shù)，
∴當(dāng)t=1時(shí)，f（t）_max=f（1）=1+5+4=10，
∴當(dāng)t=1時(shí)，a²+b²最小值為$\frac{1}{100}$．
故答案為：$\frac{1}{100}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性及不等式知識(shí)，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，能力要求較高．