Question

6．已知函數(shù)f（x）=（1-a²）lnx-$\frac{1}{3}$x³．
（1）當a=0時，求f（x）的極值；
（2）設函數(shù)g（x）=e^x-$\frac{x}{e}$-2（e為自然對數(shù)的底數(shù)），k為函數(shù)f（x）在x=1處切線的斜率，若g（x）-k＞0在x∈（0，+∞）時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）求出f（x）的導數(shù)，得到k的值，根據(jù)函數(shù)的單調性求出g（x）＞g（0），從而有-a²≤-1，解出即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
∵f′（x）=$\frac{1{-x}^{3}}{x}$（x＞0），
由f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f（x）_極大值=f（1）=-$\frac{1}{3}$，無極小值；
（2）f′（x）=$\frac{（1{-a}^{2}）{-x}^{3}}{x}$，（x＞0），
由題意得k=f′（1）=-a²，
∵g′（x）=e^x-$\frac{1}{e}$＞0，（x＞0），
∴g（x）在（0，+∞）遞增，g（x）＞g（0）=-1，
∴k≤g（0）=-1，即-a²≤-1，
故a≥1或a≤-1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、極值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．