Question

已知拋物線 C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，且拋物線C在A，B兩點處的切線相交于點M．
（Ⅰ）若△MAB面積的最小值為4，求p的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若△MAB的三邊長成等差數(shù)列，求此時點M到直線AB的距離．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：y=kx+

p

2

，則將直線l的方程代入拋物線C的方程得x²-2pkx-p²=0，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線MA的方程為y=

x1

p

x-

x12

2p

，直線MB的方程為

x2

p

x-

x22

2p

，聯(lián)立直線MA，MB的方程結(jié)合韋達定理得M得M（pk，-

p

2

），由點M到直線l：y=kx+

p

2

的距離和△MAB的面積的最小值為4，能求出p=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k_MA•k_MB=

x1x2

p2

=-1，得|MA|²+|MB|²=|AB|²，由△MAB的三邊長成等差數(shù)列，得|MA|+|AB|=2|MB|，從而|MA|：|MB|：|AB|=3：4：5，由此能求出M到直線AB的距離．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：y=kx+

p

2

，
則將直線l的方程代入拋物線C的方程得x²-2pkx-p²=0，
則x1+x2=2pk，x1x2=-p2，（*）
∴|AB|=|AF|+|BF|=y1+

p

2

+y2+

p

2

=kx₁+p+kx₂+p=2p（k²+1），
∵直線MA為拋物線在A點處的切線，∴kMA=y′|x=x1=

x1

p

，
∴直線MA的方程為y=

x1

p

x-

x12

2p

，
同理，直線MB的方程為

x2

p

x-

x22

2p

，
聯(lián)立直線MA，MB的方程得M（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

），
又由（*）式得M（pk，-

p

2

），
則點M到直線l：y=kx+

p

2

的距離d=p

k2+1

，
∴S_△MAB=

1

2

|AB|d=p2(k2+1)

3

2

≥p²，
由△MAB的面積的最小值為4，得p²=4，故p=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k_MA•k_MB=

x1x2

p2

=-1，∴MA⊥MB，
∴△MAB為直角三角形，
∴|MA|²+|MB|²=|AB|²，①
由△MAB的三邊長成等差數(shù)列，設(shè)|MA|＜|MB|，
得|MA|+|AB|=2|MB|，②
聯(lián)立①②，得：|MA|：|MB|：|AB|=3：4：5，
由S△MAB=

1

2

|MA||MB|=

1

2

|AB|d，得

d

|AB|

=

12

25

，
又|AB|=2p（k²+1）=4（k²+1），d=p

k2+1

=2

k2+1

，
∴

d

|AB|

=

1

2 k2+1

=

12

25

，∴

k2+1

=

25

24

，
∴此時M到直線AB的距離d=2

k2+1

=

25

12

．

點評：本題考查三角形面積的最小值為4時p的值的求法，考查點到直線的距離的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．