Question

若函數f(x)=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）當a＞1時，判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）用奇偶性定義判斷，先看f（x）的定義域是否關于原點對稱，再看f（x）與f（-x）的關系．
（2）用單調性定義判斷，思路是在區(qū)間上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形看符號．

解答：（1）解：由f（x）的定義域為（-∞，+∞），關于數0對稱（2分）f(-x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，得∴f（x）為R上的奇函數．（6分）
（2）當a＞1時，f（x）在（-∞，+∞）上的單調遞增．（8分）（本次未扣分，以后考試一定會扣分）
證明：設x₁，x₂為（-∞，+∞）上任意兩個實數，且x₁＜x₂，
則由a＞1得ax1＜ax2
f(x1)-f(x2)=

ax1-1

ax1+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

＜0
∴當a＞1時，f（x）在（-∞，+∞）上的單調遞增．（14分）

點評：本題主要考查函數的奇偶性和單調性的判斷．