Question

4．y=cos$\frac{cosx}{2+sinx}$（x∈R）的值域?yàn)閇cos$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]．

Answer 1

分析 設(shè)z=$\frac{cosx}{2+sinx}$，求出函數(shù)z的取值，在根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求y的值域．

解答 解：設(shè)z=$\frac{cosx}{2+sinx}$，則2z+zsinx=cosx
∴2z=cosx-zsinx
2z=$\sqrt{{z}^{2}+1}$sin（x+θ）
∴sin（x+θ）=$\frac{2z}{\sqrt{{z}^{2}+1}}$
即可得出丨$\frac{2z}{\sqrt{{z}^{2}+1}}$丨≤1
解得$-\frac{\sqrt{3}}{3}≤z≤\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由余弦函數(shù)圖象可知y的取值范圍為[cos$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]
故答案為[cos$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]

點(diǎn)評 本題需要設(shè)中間變量，求出其取值范圍，再根據(jù)余弦函數(shù)圖象求出其取值范圍．屬于中檔題