Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，若a₁=1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和，則$\frac{{2{S_n}+14}}{{{a_n}+1}}（n∈N*）$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{11}{2}$
• B． $\frac{16}{3}$
• C． $2\sqrt{7}$
• D． 4

Answer 1

分析 a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，a₁=1，可得：${a}_{3}^{2}$=a₁a₁₃，即（1+2d）²=1+12d，d≠0，解得d．可得a_n，S_n．代入$\frac{2{S}_{n}+14}{{a}_{n}+1}$化簡(jiǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，a₁=1，
∴${a}_{3}^{2}$=a₁a₁₃，
∴（1+2d）²=1+12d，d≠0，
解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
S_n=$n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²．
∴$\frac{2{S}_{n}+14}{{a}_{n}+1}$=$\frac{2{n}^{2}+14}{2n}$=n+$\frac{7}{n}$，
利用函數(shù)f（x）=x+$\frac{7}{x}$，在$[1，\sqrt{7}）$上單調(diào)遞減，在$（\sqrt{7}，+∞）$上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)n=3時(shí)，$\frac{{2{S_n}+14}}{{{a_n}+1}}（n∈N*）$的最小值為$\frac{16}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．