Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n+1+a_n=2n+1，其中a₁=1，若不等式（1+$\frac{1}{{2a}_{1}-1}$）（1+$\frac{1}{{2a}_{2}-1}$）…（1+$\frac{1}{{2a}_{n}-1}$）≥k$\sqrt{{2a}_{n}+1}$對?n∈N₊都成立，則k的取值范圍為k≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由a_n+1+a_n=2n+1可得a_n+2-a_n=2，而且a₁=1，a₂=2；從而求得a_n=n，再構(gòu)造b_n=$\frac{（1+1）•（1+\frac{1}{3}）…（1+\frac{1}{2n-1}）}{\sqrt{2n+1}}$，從而可證明數(shù)列{b_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，從而求恒成立問題．

解答 解：∵a_n+1+a_n=2n+1，a_n+2+a_n+1=2n+3，
∴a_n+2-a_n=2，
∵a₁=1，a₁+a₂=3，
∴a₁=1，a₂=2；
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n，
令b_n=$\frac{（1+\frac{1}{2{a}_{1}-1}）（1+\frac{1}{{2a}_{2}-1}）…（1+\frac{1}{2{a}_{n}-1}）}{\sqrt{2{a}_{n}+1}}$
=$\frac{（1+1）•（1+\frac{1}{3}）…（1+\frac{1}{2n-1}）}{\sqrt{2n+1}}$，
故$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{1+\frac{1}{2n+1}}{\sqrt{2n+3}}$•$\sqrt{2n+1}$=$\frac{2n+2}{\sqrt{（2n+3）（2n+1）}}$＞1，
故數(shù)列{b_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，
∵不等式（1+$\frac{1}{{2a}_{1}-1}$）（1+$\frac{1}{{2a}_{2}-1}$）•…•（1+$\frac{1}{{2a}_{n}-1}$）≥k$\sqrt{{2a}_{n}+1}$對?n∈N₊都成立，
∴k≤$\frac{（1+\frac{1}{2{a}_{1}-1}）（1+\frac{1}{{2a}_{2}-1}）…（1+\frac{1}{2{a}_{n}-1}）}{\sqrt{2{a}_{n}+1}}$=b_n對?n∈N₊都成立，
∴k≤b₁=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
故答案為：k≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及構(gòu)造法的應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問題與最值問題的應(yīng)用．