Question

6．已知數(shù)列$\frac{1}{1×2}$，$\frac{1}{2×3}$，$\frac{1}{3×4}$，…，$\frac{1}{n（n+1）}$，…，
（1）計(jì)算s₁、s₂、s₃的值，
（2）猜想s_n公式（無需證明）

Answer 1

分析 根據(jù)已知中，$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$．分析分母的變化規(guī)律，可得$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法，可得答案．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$．
∴s₁=$\frac{1}{2}$，
s₂=$\frac{2}{3}$，
s₃=$\frac{3}{4}$，
（2）由（1）中，
∴s₁=$\frac{1}{2}$，
s₂=$\frac{2}{3}$，
s₃=$\frac{3}{4}$，
…
歸納可得：s_n=$\frac{n}{n+1}$

點(diǎn)評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．