Question

已知函數f（x）=cosx+

3

cos（x+

π

2

）（x∈R）．
（1）求函數f（x）的最大值，并指出取得最大值時相應的x的值；
（2）設0≤φ≤π，若y=f（x+φ）是偶函數，求φ的值．

Answer 1

分析：（1）將函數解析式第二項利用誘導公式化簡后，提取2，再利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的余弦函數，由余弦函數的圖象與性質確定出f（x）的值域，即可求出f（x）的最大值，以及此時對應x的值；
（2）法1：由（1）化簡后的函數解析式及y=f（x+φ）是偶函數，利用偶函數的性質列出關系式，移項并利用和差化積公式變形后得到sinxsin（φ+

π

3

）=0，可得出φ+

π

3

=kπ，k∈Z，由φ的范圍即可求出φ的度數；
法2：由y=f（x+φ）是偶函數，利用偶函數的性質得到f（x+φ）=f（-x+φ），可得出x=φ是y=f（x）的對稱軸，再由（1）化簡得到的函數解析式表示出函數的對稱軸，兩者相等可得出φ=kπ-

π

3

，k∈Z，由φ的范圍即可求出φ的度數．

解答：解：（1）f（x）=cosx+

3

cos（x+

π

2

）=cosx-

3

sinx=2（

1

2

cosx-

3

2

sinx）
=2cos（x+

π

3

），
∵-1≤cos（x+

π

3

）≤1，
∴-2≤2cos（x+

π

3

）≤2，即-2≤f（x）≤2，
則f（x）的最大值為2，此時x+

π

3

=2kπ（k∈Z），即x=2kπ-

π

3

（k∈Z）；
（2）法1：由（1）及f（x+φ）=f（-x+φ），
得cos（-x+

π

3

+φ）=cos（x+

π

3

+φ），即sinxsin（φ+

π

3

）=0對任意實數x恒成立，
可得φ+

π

3

=kπ，k∈Z，又0≤φ≤π，
則φ=

2π

3

；
法2：由題設知f（x+φ）=f（-x+φ），
∴x=φ是y=f（x）的對稱軸，
由y=2cos（x+

π

3

）的對稱軸為x=kπ-

π

3

，k∈Z，即φ=kπ-

π

3

，k∈Z，
又0≤φ≤π，
令k=1，得φ=

2π

3

．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數公式，誘導公式，余弦函數的定義域與值域，余弦函數的對稱性，以及偶函數的性質，熟練掌握公式是解本題的關鍵．