Question

15．已知數列{a_n}的前n項和${S_n}={n^2}+2n$．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若${b_n}={2^n}$，求數列{a_nb_n²}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關系即可得出．
（II）利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）因為S_n=n²+2n，
所以當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．…3分
當n=1時，a₁=S₁=1²+2×1=3，滿足上式．…4分
故a_n=2n+1．…5分
（Ⅱ）因為b_n=2ⁿ．所以a_nb_n²=（2n+1）4ⁿ，…6分
其前n項和：T_n=3•4+5•4²+7•4³+…+（2n-1）•4^n-1+（2n+1）•4ⁿ①…8分
兩邊乘以4得：4T_n=3•4²+5•4³+…+（2n-1）•4ⁿ+（2n+1）•4ⁿ⁺¹…②
由①-②得：-3T_n=3•4+2•4²+2•4³+…+2•4ⁿ-（2n+1）•4ⁿ⁺¹
=$\frac{{8（{4^n}-1）}}{3}+4-（2n+1）•{4^{n+1}}$…11分
所以T_n=$\frac{{（6n+1）•{4^{n+1}}-4}}{9}$． …12分．

點評 本題考查了“錯位相減法”與等比數列的求和公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．