Question

對于任意實數(shù)x，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[2]=2，[2.1]=2；[-2.2]=-3，那么[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+…+[log₃243]的值為

 

．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用取整函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)的運算法則求解．

解答： 解：由題意可知：設(shè)[log₃a]=b
log₃a=b+x，a，b為整數(shù)
a=3^b+x，0≤x＜1，
因為y=3^x為單調(diào)增函數(shù)
當(dāng)a在[1，2]時
因為3⁰=1，3¹=3
則0＜b+x＜1
所以b=0時，[log₃1]+[log₃2]=0
當(dāng)a在[3，8]時
同理1＜b+x＜2
b=1時，[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃8]=1
b=2時，[log₃9]+[log₃10]+…+[log₃26]=2．
b=3時，[log₃27]+[log₃28]+…+[log₃80]=3．
b=4時，[log₃81]+[log₃82]+…+[log₃242]=4．
b=5時，[log₃243]=5．
∴[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃243]
=1×6+2×18+3×54+4×162+5=857．
故答案為：857．

點評：本題考查函數(shù)值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意取整函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)的運算法則的合理運用．